多层次模糊评判的基本思想和数学模型

6.3.1.1 单因素模糊评判

单独从一个因素出发，评判评价对象对评价某元素的隶属度，称为单因素模糊评判。假设对因素集中ui进行评判，对其评价集中vj的隶属度为rij，用模糊集合可表示为：

R_i＝（r_i1r_i2…r_in）

R_i称为单因素集。以各单因素评价集的隶属度为行组成的矩阵：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

称为单因素矩阵。由于R_IJ表示U_I和V_J之间隶属度，称R为从U到V的模糊关系。

6.3.1.2 单层次综合评价模型

设有两个有限集：因素集U＝（u₁u₂…u_n）和评价集V＝（v₁v₂…v_n）。若R是U与V之间的一个模糊关系，且U上的模糊集为：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

V上的模糊集为：

则对该评判对象的综合评判结果为：

A=（a1，a2，…，an）

其中：

（∨，∧）为模糊交换中的广义算子；是模糊矩阵的合成规则。上式称为单层次综合评判模型。实标上，该模型是以（ABR）构成的三维模型。A为因素集U上的权重；R为从因素集u倒评价集V的一个模糊映射；B为评价结果，b_j的含义是综合考虑所有因素的影响时，评价对象对评价集中第j个元素的隶属度。

6.3.1.3 多层次模糊评判模型

煤层气地质综合评价是一个多因素、多层次的复杂系统，必须用多层次模糊综合评价模型进行处理。多层次模糊综合评价，是以单层次评价为核心，先构成若干个评价小组的单层次评价子集，再以评价小组的评价子集为新的节点，进行高一层次的评价。

支级模糊综合评判时的单因素评判，应为相应的上一级模糊综合评判，故多级（以二级为例）模糊综合评判的单因素评判矩阵，应为：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

其中：r_ik=b_jk（i=1，2，3，…，p）。

于是二级模糊综合评判集为：

煤储层精细定量表征与综合评价模型

其中：

类似地，可以构成多段模糊评判模型。

由于不同层次中节点的权系数、算子模型不同，多层次模糊数学综合评判并不是单层次的简单叠加。

6.3.1.4 多层次模糊综合评价

以评价小组为单元所进行的单层次综合评价所获得的评价结果可以作为下一层次上述因素对自身评语的评价，即为所在层次小组的单因素对自身评语评价矩阵中的一个行向量R（u_j），故任一层次的评价矩阵可表示为：

R_i=（R_i（u_i）R_i（u₂）…R_i（u_n））

对于给定的权重：

A_i=（A₁₁，A₁₂，…，A_1n）

多层次综合评判即为：

R_iz=A_i?R_i

FCJ 模型与GIS 的结合

7. 3. 1 FCJ 模型的构建

模糊数学是 1965 年由美国自动控制专家 L. A. Zadeh 教授首先提出来的，其根本出发点在于引入了模糊集合的概念 ( 杨和雄，1993) ，即将普通的二值集合 { 0，1} 变为区间上连续分布的模糊集合 ［0，1］。这样模糊集合的特征函数，即隶属函数，其函数值———隶属度就可以在 ［0，1］ 区间连续取值，排除非此即彼的互斥性结论带来的不合乎客观实际的判定结果，代之以用某一性质或指标隶属于各渐进性状况的程度作为判定结果，即消除了截然划分地质动力强度分区所带来的不合理性，使动力因子分级呈现渐变特点。

根据模糊数学的基本理论，以斜坡灾害危险性评价为最终目标的地质动力区划 FCJ( 模糊综合评判) 模型的构建如下:

给定两个有限论域:

内外动力地质作用与斜坡稳定性

式中，U 代表所有的动力评判因子所组成的集合; V 代表所有的动力强度等级所组成的集合。评判因子论域和动力区划等级论域之间的模糊关系用矩阵 R 来表示:

内外动力地质作用与斜坡稳定性

式中，r_ij=μ(u_i，v_j)(0≤r_ij≤1)，表示就动力因子u_i而言被评为v_j的隶属度(隶属度是反映评价指标隶属于各种动力强度状态的程度，一般采用隶属函数来确定，隶属函数是用来定量描述评价因子对动力强度级别隶属程度大小的函数形式);矩阵R中第i行R_i=(r_i1，r_i2，…，r_in)为第i个评判因子u_i的单因子评判，它是集合V上的模糊子集。

实际上，不同动力因子在斜坡灾害孕育和发生中所起的作用是有大小之分的，即必须考虑因子的权重问题。

假定α₁，α₂，…，α_m分别是动力评价因子u₁，u₂，…，u_m的权重，因此，对于评判因子的权重分配为:A=(α₁，α₂，…，α_m)(0≤α_i≤1且 a_i=1，i=1，2，…，m)，则A为反映了动力因子权重的模糊集(即权向量)。

由权向量与模糊矩阵进行“合成”可得到综合隶属度B，即通过模糊运算B=A·R，求出模糊子集B=(b₁，b₂，…，b_n)(0≤b_i≤1)，其中b_i= a_ir_ij(M(·，+))。·为模糊变换算子，为突出主因子可采取广义算子。即两数相乘，取其中小者为积，两数相加时，取其中大者为和。

B基于U诸因子的综合评价结果是一组等级隶属度值，按模糊数学最大隶属度原则，取隶属度最大者所对应的等级作为评价单元动力强度区划等级。即:若b_j=max(b₁，b₂，…，b_n)(j=1，2，…，n)，则评判结果就是与第j项对应的评判等级。

7.3.2 GIS简介

GIS即地理信息系统(Geographical Information System)，起源于20世纪60年代(以美国为代表)，发展于70年代(以加拿大为代表)，繁荣于80～90年代，目前仍处于繁荣期。GIS是一种决策支持系统，一方面它是描述、存储、分析和输出空间信息的理论和方法的一门新兴的交叉学科，与地图学、计算机技术、测绘与遥感、地球科学等紧密相关;另一方面，它又是以地理空间数据库(Geospatial Database)为基础，采用地理模型分析方法，适时提供多种空间和动态的地理信息，为区域规划和区域决策服务的计算机系统(朱光，1996)。

GIS的数据库功能包含了空间数据、拓扑关系及属性数据在内的地理数据库，其强大的空间分析功能按空间数据处理方式的不同，主要有矢量数据和栅格数据两种格式，一般的GIS软件都支持这两种模型，并可相互转化。GIS技术的一个基本要点在于它可以在二维或三维空间内将不同的地理对象进行拓扑连接，使得在GIS数据库中可以分析的不仅是对象本身的地理位置和数据属性，而且是它们之间的空间关系和连通性。同时，为了特定的空间分析目的，还可以通过缓冲区分析(Buffer)、叠加分析或与外部分析模型进行空间分析与计算，生成新的数据库和图形(张超，2000)。

地质动力因子具有空间上的复杂变异性和时间上的动态变化性，研究中涉及海量的数据或信息，因而基础资料的有效处理就成为困扰地质动力区划的一道难题。GIS强大的数据管理和空间数据分析能力能够为地质动力区划研究提供新的技术手段，并进一步实现斜坡灾害危险性评价的全面计算机化。地质动力区划及灾害危险性制图原理如图7.3.1。

图7.3.1 GIS应用于地质动力区划及灾害危险性评价示意图

7.3.3 FCJ模型与GIS的结合

单纯依靠GIS技术建立一个地区的地质资料库，不能进行进一步的分析评价，只能称作是空间数据库，并不能达到地质动力区划及灾害危险性评价的目的。而孤立的FCJ方法由于数据获取的困难和偏差，在实际应用中也会大受局限。如何将二者结合起来，快速有效地得出实用的评价预测结果，便成为我们应该研究的核心问题。大体而言，可以从以下三个方面考虑:

(1)利用GIS采集数据及进行基础数据处理

GIS具有强大的数据库和空间分析功能，可以利用它来采集评价所需的数据并进行管理。图形、矢量数据的数字化过程是先把各种图件经扫描仪扫描后，利用MapGIS软件将扫描后的栅格图通过矢量化转换为矢量图，然后通过编辑、修改、坐标投影变换、赋值等建立图形矢量数据库。GIS对数据的预处理包括两个方面:一是将定性数据按照一定的原则定量化;二是利用GIS的自动剖分功能形成用于评价的图元区域(阮沈勇等，2001)。

(2)应用FCJ模型扩充GIS的分析评价功能

由于GIS具有可二次开发开发性，可以结合所需解决问题的实际情况，应用FCJ模型扩充GIS的分析评价功能，以实现传统分析方法与GIS的整合。把GIS已经剖分的图元区域的各种信息写入中间数据库，供FCJ模型直接调用，充分利用面向对象编程语言的优势，真正实现GIS数据与FCJ分析模型的无缝连接。

(3)评价结果的可视化输出

GIS具有强大的可视化图形显示和输出功能，可以编写一个接口，将FCJ模型所得结果写入相应图元的属性数据库，然后利用GIS强大的成图功能，将分析结果直接成图，在GIS编辑模块中调配好颜色，加上图例和标注，形成最终结果。

什么叫模糊集对分析法

模糊综合评判的过程

综合考虑事物多种因素，用模糊集理论来评定其优劣的方法。模糊综合评判广泛用于评定产品质量、环境质量、农业布局、天气预报、医疗诊断等方面。
设给定两个有限论域：U={u1，u2，…，un}，V={v1，v2，…， vm}。这里 U是综合评判的因素所组成的集合,V代表评语所组成的集合。模糊综合评判是一个模糊变换问题： X⋅R=Y
式中“⋅ ”表示合成运算，X是U上的模糊子集，评判结果 Y是V上的模糊子集，模糊关系R可看作一个模糊变换器（见图）。若已知Y和R，求X；或已知X和Y，求R；就构成模糊综合评判的逆问题，需要求解模糊关系方程。模糊关系方程是法国学者E.桑杰斯于1976年根据医疗诊断的需要提出来的。这类问题相当于已知评判结果和模糊关系，求评判者对各种因素的权数分配问题。这种问题具有重大的实际意义，对发展专家系统起指导作用。
现举评判电视机的实例来说明模糊综合评判的方法。U={u1，u2，u3}，V={v1，v2，v3，v4}。这里u1代表图像,u2代表音响，u3代表价格；v1表示很好，v2表示较好,v3表示可以,v4表示不好。设聘请专家或顾客进行评判。例如对于图像，有50%的人认为很好，40%的人认为较好，10%的人认为可以，没有人认为不好。全部结果记作：
对于图像：Vu1=(0.5，0.4，0.1，0)
对于音响：Vu2=(0.4，0.3，0.2，0.1)
对于价格：Vu3=(0，0.1，0.3，0.6)
这样就构成一个模糊矩阵：设一类顾客在购买电视机时主要是要求图像清晰，价格便宜，音响稍差则不要紧，则此类顾客对电视机三个因素的权数分配 X =【0.5　0.2　0.3】
对电视机的评判结果为这是根据最大最小运算得到的，还需作归一化处理。因为0.5+0.4+0.3+0.3=1.5，用1.5除各项得到 【0.330.27 0.20 0.20】。模糊综合评判的结果,认为图像、音响、价格都很好的占比重最大，达33%。

S={|x|x<-1或x>5},T={|x|a

-3＜a＜1。

地位

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

模糊集

用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。

但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，而模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。